郑振龙《金融工程》_第2-5章课后作业_习题及答案

第二章课后作业: 1.假如英镑与美元的即期汇率是 1 英镑=1.6650 美元,6 个月期远期汇率是 1 英镑=1.6600 美元,6 个月期美元与英镑的无 风险年利率分别是 6%和 8%,问是否存在无风险套利机会?如存在,如何套利? 解: 1 1  则美元远期升水 12 1.6600 1.6650 美元年升水率    100%  0.60%  8%  6%  2% 1 6 1.6650 还不够,处于被低估状态,可以套利,基本过程为: 首先借入美元,在期初兑换成英镑到英国投资 6 个月;同时在期初卖出一份 6 个月期的英镑期货合约;在投资期满后将 英镑计价的本息和按原定远期汇率兑换回美元,偿还借款本息和后剩余的即为无风险套利。 2.一只股票现在价格是 40 元,该股票 1 个月后价格将是 42 元或者 38 元。假如无风险利率是 8%,用风险中性定价法计算 执行价格为 39 元的一个月期欧式看涨期权的价值是多少? 解:设价格上升到 42 元的概率为 P,则下降到 38 元的概率为 1  P,根据风险中性定价法有   42 P  38 1  P   e 设该期权价值为 f ,则有 1 8% 12  40 P  0.5669 1 8% 12 f    42  39  P  0 1  P   e  1.69元 第三章课后作业: 1. 假设一种无红利支付的股票目前的市价为 20 元,无风险连续复利年利率为 10% ,求该股票 3 个月期远期价格。 (e 0.025  1.025 ) 3 10% 12 .该股票 3 个月期远期价格为 解: F  Ser T t   20e  20 1.025  20.5元 。 2.假设恒生指数目前为 10000 点,香港无风险连续复利年利率为 10%,恒生指数股息收益率为每年 3%,求该指数 4 个月 期的期货价格。 该指数期货价格为 解: F  Se  r  q  T  t   10000e 10%  3%  1 3  10236.08点 。 3.某股票预计在 2 个月和 5 个月后每股分别派发 1 元股息,该股票目前市价等于 30 元,所有期限的无风险连续复利年利 率均为 6%, 某投资者刚取得该股票 6 个月期的远期合约空头, 请问: ①该远期价格等于多少?若交割价格等于远期价格, 则远期合约的初始值等于多少?②3 个月后,该股票价格涨到 35 元,无风险利率仍为 6%,此时远期价格和该合约空头价 值等于多少?( e 解: ①(1)2 个月和 5 个月后派发的 1 元股息的现值 I e 0.06 2 12 5 12 0.01  0.99, e0.025  0.975, e0.03  1.03 ) e 0.06  e 0.01  e 0.025  0.99  0.975  1.965 元。 6 个月远期价格 F   S I  r T  e t   30  1.965  e 0.060.5  28.89 元。 (2)根据远期价格的定义,若交割价格等于远期价格,则远期合约的初始价值为 0。 ② 3 个月后的 2 个月派发的 1 元股息在为 3 个月后的价值为 I e 2 0 . 0 6 12  0.99元 3 0.06 12 该远期合约此时的理论价格为 F  S  I e r  T t  =      e  34.52元 空头远期合约的价值为 f   28.89  34.52  e 0.060.25  5.55元

或者  r T  t      35  0.99  28.89e 0.060.25   5.55元 f    S  I  Ke  4.瑞士和美国两个月连续复利率分别为 2%和 7%,瑞士法郎的现货汇率为 0.6500 美元,2 个月期的瑞士法郎期货价格为 0.6600 美元,请问有无套利机会? 瑞士法郎期货的理论价格为: f  6 解: F  Se  0.6500e  0.6554  0.6600$ 可见,实际的期货交割价格太高了。投资者可以通过期初借美元,兑换成瑞士法郎,同时再卖出 2 个月期的瑞士法郎 期货合约,然后到瑞士去投资来进行套利。 第四章课后作业: 1. 一份本金为 10 亿美元的利率互换还有 10 个月的期限。 这笔互换规定以 6 个月的 LIBOR 利率交换 12%的年利率 (每半 年计一次复利) 。市场上对交换 6 个月的 LIBOR 利率的所有期限的利率的平均报价为 10%(连续复利) 。两个月前 6 个月 的 LIBOR 利率为 9.6%。请问上述互换对支付浮动利率的那一方价值为多少?对支付固定利率的那一方价值为多少? r r T  t   7%  2%  1  0.9675,e e 解:方法一:用债券组合的方法 0.033 n i 1 0.0833  0.9201,e0.05  1.05127  B fix =  ke  ri ti  Le  rntn  10  1 5 0.1 12% 12%  0.1 6  3 e  10  1  e  10.33280046亿美元  2 2   9.6%  0.1 1  3  10  1   10.13642473亿美元 对 于 收 到 固 定 利 e 2   率,支付浮动利率的一方,互换价值为 B fl  L  k e * r 1t1 V互换 =B fix  B fl                    亿美元 定利率的一方,互换价值为 收到浮动利率,支付固 V互换  0.20亿美元 方法二:用远期利率协议组合的方法 ①第一次交换利率(4 个月后) ,对于收到固定利率,支付浮动利率的一方,其现金流价值为 VFRA1  0.5 10  12%  9.6%  e 0.1  1 3  0.1160659亿美元 ②4 个月到 10 个月的远期利率由题知=10% 对应的半年计一次复利的利率为 2  e   10% 2   1   0.1025  10.25%  5 6 ③第二次交换利率(10 个月后) ,对于收到固定利率,支付浮动利率的一方,其现金流价值为 VFRA2  0.5 10  12%  10.25%  e 0.1   0.08050389亿美元 ④因此,对于收到固定利率, 支付浮动利率的一方,互换价值为 V互换  V F R 1A  V FR A  0.1965697 9 亿美元 0 . 2 0 收到浮动利率,支付固定利率的一方,互换价值为 V互换  0 .20 亿美元  2. 一份货币互换还有 15 个月的期限。 这笔互换规定每年交换利率为 14%、 本金为 2000 万英镑和利率为 10%、 本金为 3000 万美元两笔借款的现金流。英国和美国现在的利率期限结构都是平的,即期利率分别为 11%和 8%(连续复利) 。即期汇 率为 1 英镑=1.6500 美元。请问上述互换对支付英镑的那一方价值为多少?对支付美元的那一方价值为多少? e 0.02  0.9802,e 0.1  0.90484,e 0.0275  0.97287,e 0.1375  0.87153, e 0.0075  0.99253,e 0.0375  0.96319 

解:假设美元是本币。 方法一:用债券组合的方法 BD =  k D e  ri ti  LD e  rn tn i 1 n  30  10% e 0.080.25  30 1  10%  e 0.081.25  32.80023 百万美元 BF =  k F e i 1 n  r fi ti  LF e  r fn t n 因此,对于收到美元,支付  20  14% e 0.110.25  20 1  14%  e 0.111.25  22.59502百万英镑 英镑的一方,互换价值为 V互换 =BD  S0 BF  32.80023  1.6500  22.59502  4.4816 百万美元 对于收到英镑,支付美 元的一方,互换价值为 V互换 =S0 BF  BD  1.6500  22.59502  32.80023  4.4816 百万美元 方法二:用远期外汇协议组合的方法 根据远期外汇协议定价公式 F  Se 3 个月期远期汇率为 15 个月期远期汇率为 r  rf T  t  可以求出 F1  1.6500e 8% 11% 0.25  1.63767 美元  1.58927 美元 F2  1.6500e 8% 11% 1.25 两份远期合约价值分别为 f1   20 14% 1.63767  30 10%  e0.080.25  1.55408 百万美元 0.081.25 f2    2.92748 百万美元 因此,对于收到美  20 1  14%  1.58927  30 1  10%   e 元,支付英镑的一方,互换价值为 V互换 =-  f1  f 2   1.55408  2.92748  4.4816 百万美元 对于收到英镑,支付美元的一方,互换价值为 V互换 =f1  f 2  1.55408  2.92748  4.4816 百万美元 3. X 公司和 Y 公司各自在市场上的 10 年期 500 万美元的投资可以获得的收益率为: 公司 固定利率 浮动利率 X 公司 8.0% LIBOR Y 公司 8.8% LIBOR X 公司希望以固定利率进行投资,而 Y 公司希望以浮动利率进行投资。请设计一个利率互换,其中银行作为中介获得的 报酬是 0.2%的利差,而且要求互换对双方具有同样的吸引力。 解:X、Y 两公司在浮动利率和固定利率市场上的投资差异分别为: 公司 固定利率 浮动利率 X 公司 8.0% LIBOR Y 公司 8.8% LIBOR 投资差异 0.8% 0 由 X、Y 两公司在浮动利率和固定利率市场上的投资差异显示出 X 公司在浮动利率市场上有比较优势,Y 公司在固定 利率市场上有比较优势,而 X 公司想以固定利率投资,Y 公司想以浮动利率进行投资,两者可以设计一份利率互换协议。 互换的总收益为 0.8%-0=0.8%,银行的收益是 0.2%,剩余 0.6%,双方各享受到的收益为 0.3%,因此 X 公司最终总投 资收益为 8.0%+0.3%=8.3%,而 Y 公司最终总投资收益为 LIBOR+0.3%,可以设计如下的具体互换协议: X 公司 LIBOR 银行 8.3% YLIBOR 公司 8.5%

LIBOR 浮动利率市场 固定利率市场 8.8% 4. 假设 A、B 公司都想借入 1 年期的 100 万美元借款,A 想借入与 6 个月期相关的浮动利率借款,B 想借入固定利率借款。 两家公司信用等级不同,故市场向它们提供的利率也不同(如下表所示) ,请简要说明两公司应如何运用利率互换进行信 用套利。 公司 借入固定利率 借入浮动利率 A 公司 10.8% LIBOR+0.25% B 公司 12.0% LIBOR+0.75% 解:A 公司和 B 公司在固定利率市场和浮动利率市场上借款的成本差异分别为: 假设 A、B 公司都想借入 1 年期的 100 万美元借款,A 想。两家公司信用等级不同,故市场向它们提供的利率也不同(如 下表所示) ,请简要说明两公司应如何运用利率互换进行信用套利。 公司 借入固定利率 借入浮动利率 A 公司 10.8% LIBOR+0.25% B 公司 12.0% LIBOR+0.75% 借款成本差异 1.2% 0.5% 由 A、B 两公司在浮动利率和固定利率市场上的借款成本差异显示出 A 公司在固定利率市场上有比较优势,B 公司在 浮动利率市场上有比较优势,而 A 公司想借入浮动利率借款,B 想借入固定利率借款,两者可以设计一份利率互换协议。 互换的总收益为 1.2%-0.5%=0.7%,假设双方平分,则双方各享受到的收益为 0.35%,因此 A 公司最终总借款成本为 LIBOR+0.25%-0.35%=LIBOR-0.1%,而 B 公司最终总借款成本为 12.0%-0.35%=11.65%,可以设计如下的具体互换协议: A 公司 6 个月 LIBOR B 公司 10.9% LIBOR+0.75% 10.8% 固定利率市场 浮动利率市场 5. A 公司和 B 公司如果要在金融市场上借款需支付的利率分别为: 公司 美元浮动利率 加元固定利率 A 公司 LIBOR+0.5% 5.0% B 公司 LIBOR+1.0% 6.5% 假设 A 公司需要的是美元浮动利率贷款,B 公司需要的是加元固定利率贷款。一家银行想设计一个互换,并希望从中 获得 0.5%的利差。如果互换对双方具有同样的吸引力,A 公司和 B 公司的利率支付是怎么安排的? 解:A 公司和 B 公司在美元浮动利率和加元固定利率市场上借款的成本差异分别为: 公司 美元浮动利率 加元固定利率 A 公司 LIBOR+0.5% 5.0% B 公司 LIBOR+1.0% 6.5% 成本差异 0.5% 1.5% A、 B 两公司在美元浮动利率和加元固定利率市场上的投资差异显示出 A 公司在加元固定利率市场上有比较优势, B 公司在美元浮动利率市场上有比较优势,而 A 公司需要的是美元浮动利率贷款,B 公司需要的是加元固定利率贷款,两 者可以设计一份混合互换协议。 互换的总收益为 1.5%-0.5%=1.0%,银行的收益是 0.5%,剩余 0.5%,双方各享受到的收益为 0.25%,因此 A 公司最终 总借款成本为 LIBOR+0.5%-0.25%= LIBOR+0.25% ,而 B 公司最终总借款成本为 6.5%-0.25%=6.25%,可以设计如下的 具体互换协议:

加元本金 A 公司 加元本金 LIBOR+1.0% (美元) B 公司 6.25%(加元) 美元本金 LIBOR+1.0% (美元) 美元本金 LIBOR+0.25%(美元) 银行 5.0%(加元) 美元本金 5.0%(加元) 加元本金 加元固定利率市场 美元浮动利率市场 第五章课后作业: 1. 某一协议价格为 25 元,有效期 6 个月的欧式看涨期权价格为 2 元,标的股票现在价格为 24 元,该股票预计在 2 个月 和 5 个月后各支付 0.50 元的股息,所有期限的无风险连续复利年利率均为 8%,请问该股票协议价格为 25 元,有效期 6 个月的欧式看跌期权价格等于多少? (e 0.0133  0.987, e0.033  0.967, e0.04  0.961 ) 解:由欧式期权的平价公式可得欧式看跌期权的价格为 p  c  Xe rT  D  S0  2  25e  2 25 e 0.080.5  0.5e  2 0.08 12  0.5e 0 e. 5  0.08 5 12  24 24  0.96 7 元 24  3.002 0 . 0 4  0. e5 0 . 0 1 3 3  0 . 0 3 3   2  2 5  0 . 9 6 1 0 .5 0 . 987 0.5 2.假设某种不支付红利股票的市价为 50 元,无风险利率为 10%,该股票的年波动率为 30%,求该股票协议价格为 50 元、 期限 3 个月的欧式看涨、看跌期权价格。 (N  0.2417   0.5955,N  0.0917   0.5366,e0.025  0.975 ) c  SN  d1   Xe  r T  t  解:根据欧式看涨期权价格公式 N  d2  其中, 2  0.32   S    50   ln  ln  r     0.1   T  t    0.25 2  2   X    50   d1    0.2417;  T t 0.3 0.25 d 2  d1   T  t  0.2417  0.3  0.25  0.0917 ; 查表可得 N  0.2417   0.5955, N  0.0917   0.5366 代入,可得 c  SN  d1   Xe  r T t  N  d2   50  N  0.2417   50e 0.10.25 N  0.0917   3.61575  3.6元 p  Xe  r T t  N  d 2   SN  d1  N  0.0917   50  N  0.2417   2.36575  2.4元  50e 0.10.25 3.甲卖出一份 A 股票的欧式看涨期权,9 月份到期,协议价格为 20 元。现在是 5 月份,A 股票价格为 18 元,期权价格为 2 元。如果期权到期时 A 股票价格为 25 元,请问甲在整个过程中的现金流状况如何? 解:甲在 5 月份通过出售期权可获得期权费,此时现金流为 2*100=200 元; 到期时,由于此时标的资产 A 股票市价为 25 元,执行价为 20 元,期权的买方 会选择执行期权,此时甲的现金流为 -(25-20)*100=-500 元。

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